(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Proposition :
Soient \(f\), \(g\) deux fonctions intégrables sur \([a,b]\)
1. \(f+g\) est une fonction intégrable et $${{\int^b_a(f+g)(x)dx}}={{\int^b_af(x)dx+\int^b_ag(x)dx}}$$
2. Pour tout réel \(\lambda\), \(\lambda f\) est intégrale et $${{\int^b_a\lambda f(x)dx}}={{\lambda\int^b_a f(x)dx}}$$
3. Par ces deux premiers points nous avons la linéarité de l'intégrale : pour touts réels \(\lambda\) et \(\mu\), $${{\int^b_a\left(\lambda f(x)+\mu g(x)\right)dx}}={{\lambda\int^b_af(x)dx+\mu\int^b_ag(x)dx}}$$
4. \(\lvert f\rvert\) est une fonction dérivable sur \([a,b]\) et $${{\left\lvert\int^b_af(x)dx\right\rvert}}{{\leqslant}}{{\int^b_a\lvert f(x)\rvert dx}}$$
Linéarité de l'intégrale impropre : $$\int^{+\infty}_a\left(\lambda f(t)+\mu g(t)\right)\,dt=\lambda\int^{+\infty}_af(t)\,dt+\mu\int^{+\infty}_ag(t)\,dt$$
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